De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par `f(x) = 7(x-1)(x+3)` .

Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction par double distributivité.
Pour tout `x` dans `\mathbb R` , on a
`f(x) = 7(x-1)(x+3) = 7(x^2 + 3x-x-3) = 7(x^2 + 2x-3) =7x^2 + 14x-21` .
On obtient bien la forme développée de la fonction  `f` avec  `a = 7` ,  `b = 14`  et  `c = -21` .

Forme canonique
Par complétion du carré, on a, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\)
\(\begin{align*}f(x)&=7(x^2+2x-3) \\ & = 7(x^2+2x+1-1-3) \\&= 7(x^2+2x+1-4)\\&=7(x^2+2x+1)-28\\&=7(x+1)^2-28 \end{align*}\)

On reconnaît ici \(\alpha=-1\) et \(\beta=-28\) .

D'autres méthodes

• (hors programme) On repart de la forme développée et on calcule  `\alpha`  et  `\beta` . On a  `\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{14}{2\times 7}=-1` et  \(\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{14^2-4\times 7 \times (-21)}{4\times 7}=-28\) . On en déduit pour tout `x` dans `\mathbb R` `f(x)=7(x-(-1))^2-28=7(x+1)^2-28` . 
  
• On aurait pu remarquer aussi que `\alpha`  est la moyenne des deux racines  `x_1` et  `x_2` .         `\alpha =\frac{x_1+x_2}{2} =\frac{1+(-3)}{2} =\frac{-2}{2} = -1` . On calcule `\beta` comme image de `\alpha` par `f` , on obtient `\beta=f(\alpha)=-28` , ce qui nous permet de retrouver la forme canonique.